Γεννήθηκε τον Οκτώβριο του 1907 στην Αθήνα και πραγματοποίησε τις βασικές του σπουδές εσωτερικός σε Λύκειο του Παρισιού. Το 1927 υπηρέτησε τη στρατιωτική του θητεία και μετά την απόλυσή του εργάστηκε ως μεταφραστής σε τράπεζα και γραφέας στο Πανεπιστήμιο, ενώ το 1930 διορίστηκε στο Υπουργείο Δημοσίων Έργων ως σχεδιαστής στη Διεύθυνση Σχεδίων Πόλεων.
Το 1932 γράφτηκε στην Σχολή Καλών Τεχνών, όπου μαθήτευσε κοντά στον Κωνσταντίνο Παρθένη, ενώ παράλληλα παρακολουθούσε μαθήματα
Τα πρώτα δείγματα της ζωγραφικής του παρουσιάστηκαν το 1938 στην Έκθεση Τέχνη της Νεοελληνικής Παραδόσεως και αποτελούσαν έργα που απεικόνιζαν παλαιά σπίτια της Δυτικής Μακεδονίας. Την ίδια χρονιά σημειώθηκε και η είσοδός του στα ελληνικά γράμματα, αρχικά με τη δημοσίευση μεταφράσεων σε ποιήματα του Τριστάν Τζαρά και λίγο αργότερα, τον Ιούνιο του 1938, με την κυκλοφορία της πρώτης του ποιητικής συλλογής με τον τίτλο Μην ομιλείτε εις τον οδηγό.
Το Σεπτέμβριο του 1939 εκδόθηκε η δεύτερη ποιητική του συλλογή, Τα Κλειδοκύμβαλα της Σιωπής, ενώ το Νοέμβριο πραγματοποιήθηκε η πρώτη ατομική έκθεση ζωγραφικής του, στο σπίτι του Νίκου Καλαμάρη. Την ίδια περίοδο εργάστηκε για την παράσταση της Ηλέκτρας του Σοφοκλή στο Θέατρο Κοτοπούλη, σχεδιάζοντας τα κοστούμια των ηθοποιών και συμμετείχε σε ομαδική έκθεση Ελλήνων καλλιτεχνών στη Νέα Υόρκη.
Τα επόμενα χρόνια συμμετείχε σε αρκετές ομαδικές εκθέσεις, ενώ το 1954 εκπροσώπησε την Ελλάδα στην 27η Μπιενάλε της Βενετίας με συνολικά 72 έργα του. Την ίδια περίοδο εκλέχθηκε μόνιμος επιμελητής του Πολυτεχνείου και παραιτήθηκε οριστικά από το Υπουργείο Δημοσίων Έργων. Το 1958 του απονεμήθηκε το Πρώτο Κρατικό Βραβείο Ποίησης του Υπουργείου Εθνικής Παιδείας για την ποιητική συλλογή Εν Ανθηρώ Έλληνι Λόγω, ενώ το 1966 τιμήθηκε για το ζωγραφικό του έργο από το βασιλιά Κωνσταντίνο Β΄ με το παράσημο του Χρυσού Σταυρού του Γεωργίου Α΄. Το κρατικό βραβείο ποίησης θα του απονεμηθεί αργότερα για δεύτερη φορά το 1979, καθώς και το παράσημο του Ταξιάρχη του Φοίνικος. Υπήρξε μέλος του Καλλιτεχνικού Επιμελητηρίου, της Ελληνικής Εταιρίας Αισθητικής, της Societe Europeennee de Culture κ.ά. Μιλούσε αγγλικά, γαλλικά και ιταλικά. Ήταν μόνιμος κάτοικος Αθηνών (οδού Αναγνωστοπούλου).
Πίνακές του υπάρχουν στην Εθνική Πινακοθήκη, στις Δημοτικές Πινακοθήκες Αθηνών, Ρόδου, Θεσσαλονίκης, στο Μουσείο Θεάτρου στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο και σε ιδιωτικές συλλογές.
Πέθανε στις 21/10/1985 από ανακοπή καρδιάς και η κηδεία του πραγματοποιήθηκε δημοσία δαπάνη στο Α΄ Νεκροταφείο της Αθήνας.
Ποιήματα του Εγγονόπουλου έχουν μεταφραστεί στα γαλλικά, αγγλικά, ιταλικά, ισπανικά, δανικά, πολωνικά, ουγγρικά και τη βενετική διάλεκτο. Επιπλέον έχουν μελοποιηθεί από το Νίκο Μαμαγκάκη και τον Αργύρη Κουνάδη, ο οποίος έγραψε τη μουσική υπόκρουση στο ποίημα Μπολιβάρ για το δίσκο της εταιρίας Διόνυσος, σε απαγγελία του ίδιου του Εγγονόπουλου.
Το έτος 2007 ανακηρύχθηκε από τον καλλιτεχνικό κόσμο της χώρας ως “Έτος Ν. Εγγονόπουλου”.